Stages d'initiation à la recherche

Informations

Objectif

Les stages d'initiation à la recherche de premier cycle ont pour but de stimuler l'intérêt des étudiants pour la recherche en leur fournissant l'occasion d'acquérir de l'expérience dans un laboratoire universitaire et de les encourager à entreprendre des études supérieures.

Bourses

Il y a plusieurs possibilités de financer un stage (entre parenthèses est la date limite pour présenter une demande):

Projets

Ci-dessous vous trouverez une liste de sujets possibles pour un stage. Vous pouvez contacter le professeur par courriel pour exprimer votre intérêt pour le projet.

Notez que cette liste n'est pas exhaustive: n'hésitez pas à discuter des possibilités des stages avec vos professeurs préférés, même s'ils ne sont pas dans la liste ci-dessous.

(1) Les mathématiques derrière le mélange d'un jeu de cartes (et autre processus aléatoire)

Professeur: Franco Saliola

Description: Il existe dans la nature plusieurs processus dont le but est de randomiser une collection d'objets. Une façon de modéliser ce problème est de représenter la collection d'objets par un jeu de cartes de sorte que les processus de randomisation correspondent à des façons de mélanger les cartes. Il y a plusieurs questions qu'on peut poser sur ces processus aléatoires, par exemple: combien de fois faut-il mélanger le jeu pour que l'on puisse considérer que le jeu de cartes soit bien mélangé? Pour répondre à ces types de questions, on utilise des outils provenant de l'algèbre linéaire (vecteurs propres et valeurs propres), de la théorie des groupes (pour étudier la composition de plusieurs mélanges), et la théorie de la représentation (ce qui est un mélange de l'algèbre linéaire et la théorie des groupes).

(Ce projet est accessible à un étudiant de première année.)

Mots clés: algèbre linéaire; initiation à la théorie des groupes; initiation à la théorie de marches aléatoires et chaînes de Markov

(2) Mathématiques expérimentales

Professeur: Franco Saliola

Description: Selon Wikipédia: "les mathématiques expérimentales constituent une approche dans laquelle des calculs (essentiellement réalisés actuellement par ordinateur) sont utilisés pour explorer les propriétés d'objets mathématiques, et découvrir des relations et des régularités entre ces objets".

L'objectif de ce projet est de faire une introduction aux techniques de ce domaine. On étudiera diverses applications célèbres de ces techniques; et on commencera à appliquer les techniques à des problèmes ouverts. Les compétences acquises seront transférables à d'autres projets de recherche scientifique et ils peuvent également être utilisés tout au long des études de premier cycle et de cycles supérieurs.

L'outil informatique principal sera SageMath, un logiciel libre de calcul mathématique s'appuyant sur le langage de programmation Python.

(Ce projet est accessible à un étudiant de première année.)

(3) Applications du lemme du ping-pong à certaines matrices inversibles

Professeur: Hugh Thomas

Mots clés: algèbre matricielle; algèbre linéaire; initiation à la théorie des groupes

Description: Soit A et B deux matrices nxn inversibles, que je vous donne explicitement. On peut poser la question: est-ce qu'il y a une équation qui utilise seulement la multiplication et l'inversion, qui est vérifiée par A et B, comme par exemple AB=BA? (On exclut les équations comme, par exemple, AA^{-1}=BB^{-1}, qui sont vérifiées par toutes matrices inversibles.) Sinon, on dit que A et B sont libres. Il s'avère que, même si les matrices sont des matrices d'entiers, et n n'est pas grand, c'est difficile de savoir si A et B sont libres. De prime abord, il faudrait vérifier qu'aucune d'un nombre infini d'équations n'est vérifiée. Il y a quand même une stratégie pour démontrer cela, qui s'appele le « lemme du ping-pong ».

Pour chaque entier positif i, j'ai des matrices A_i, B_i de taille 2i x 2i (qui proviennent de la géométrie algébrique). C'est bien connu que A_1 et B_1 sont libres. Que A_2 et B_2 le sont, c'est un résultat que j'ai publié avec Chris Brav. Pour i=3, la stratégie utilisée pour i=2 marche mais demande des calculs avec l'ordinateur qui sont faisables mais qui font que le résultat n'est pas tout à fait satisfaisant. D'ailleurs, je n'ai rien publié sur ce cas. Pour i supérieur ou égal à 4 la réponse n'est pas connue. On peut essayer la même stratégie. Sans une simplification, les calculs deviennent de plus en plus longs, mais ils devraient être faisables au moins pour i=4. (Un composant de la tâche serait d'apprendre à faire les calculs d'algèbre linéaire en utilisant le logiciel Sage.) Questions:

(4) Initiation à la théorie des groupes et algèbres de Lie matricielles

Professeur: Vestislav Apostolov

Mots clés: algèbre matricielle; algèbre linéaire; initiation à la théorie des groupes; groupes de Lie; algèbres de Lie

(5) Expérimentations dans la théorie de la combinatoire algébrique

Professeur: François Bergeron

Description: J'ai tout un paquet de problèmes intéressants, pour lesquels il y a des expérimentations naturelles et accessibles avec SageMath. Le format consiste de circonscrire un sujet ainsi que les premiers outils d'explorations (par ordinateur ou même à la main). Chaque fois, il y a l'espoir de découvrir une nouvelle formule, ou un nouveau théorème. Tous les sujets sont liés à des questions ouvertes, mais compréhensibles. Les thèmes possibles comprennent:

  1. Combinatoire de certains chemins dans un réseau rectangulaire, qu'on énumère selon l'aire sous le chemin; et découverte de formules pour ce faire.
  2. Calcul de la dimension de nouveaux espaces vectoriels obtenus en dérivant certains polynômes (à plusieurs variables).
  3. Recherche de bijections expliquant des identités numériques observées.
  4. Pour les mordus de l'informatique mathématique, j'ai aussi des projets explicites de mise au point d'outils Sage nouveaux. Par exemple, pour découvrir des formules concernant les $q$-analogues d'entiers.

(6) Vers la géométrie du dernier théorème de Fermat: Les fonctions naturelles telles que les polynômes sur les nombres complexes comme analogues des nombres entiers

Professeur: Steven Lu

Description: Il y a plusieurs preuves très accessibles du théorème au cas des solutions par des polynômes au lieu des solutions par des nombres entiers. La clef qui simplifie énormément la preuve et permet des interprétations géométriques au cas de polynômes est l'existence de la dérivation dans le monde des polynômes, ce qui est manqué dans le monde des nombres entiers. Néanmoins, on a fait des avancements récents et nontriviaux vers une vraie preuve géométrique d'une généralisation vaste du théorème en toute dimension donnée par les conjectures principales de Lang et Vojta.

Ce projet est accessible à un étudiant de première année. Pour les étudiants de première année qui n'ont pas encore suivi un cours en algèbre, ça sert comme une intro à l'algèbre et un peu à l'analyse complexe, ce dernier surtout pour les étudiants plus avancés.

(7) Utiliser le théorème de diagonalisation des matrices symétriques pour résoudre des équations différentielles

Professeur: Frédéric Rochon

Description: Utiliser le théorème de diagonalisation des matrices symétriques pour résoudre des équations différentielles, notamment des équations aux dérivées partielles telles que l'équation des ondes, l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger. (Ce projet est accessible à un étudiant de première année.)